牛客AB52能量项链问题：环形区间DP的完美应用

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一、问题背景与理解

能量项链问题描述了一个环形排列的珠子序列，每个珠子有头尾标记。通过特定的聚合操作，相邻珠子可以合并并释放能量。我们的目标是找到使总能量最大的聚合顺序。这个问题本质上是一个环形区间动态规划问题，与矩阵连乘问题类似但更具挑战性。

二、算法核心思想

• 环形问题线性化：将原数组复制一份接在后面，转化为线性问题处理
• 区间DP定义：dp[j]表示合并第i到第j颗珠子能获得的最大能量
• 状态转移方程：dp[j] = max(dp[k] + dp[k+1][j] + arr*arr[k+1]*arr[j+1])，其中k为分割点
• 边界条件：当区间长度为1时(dp)，能量为0
  
  

三、实现详解

• 输入处理：读取珠子数量n和头标记数组
• 环形转线性：将原数组复制一份接在后面，形成2n长度的数组
• DP数组初始化：创建2n×2n的二维数组，初始值设为0
• 区间DP计算：
  
  
  • 外层循环枚举区间长度(从2到n)
  • 中层循环枚举区间起点
  • 内层循环枚举分割点k，计算所有可能分割方式的最大值
    
    
• 结果提取：在转换后的线性数组中，找出所有长度为n的区间中的最大值
  
  

四、代码实现

1. #include <iostream>
   
2. #include <vector>
   
3. #include <algorithm>
   
4. using namespACe std;
   
5. 
   
6. int main() {
   
7.     int n;
   
8.     cin >> n;
   
9.     vector<int> nums(n);
   
10.     for(int i = 0; i < n; ++i) {
    
11.         cin >> nums[i];
    
12.     }
    
13.    
    
14.     // 环形问题转化为线性问题：将数组复制一份接在后面
    
15.     vector<int> arr(nums.begin(), nums.end());
    
16.     arr.insert(arr.end(), nums.begin(), nums.end());
    
17.    
    
18.     // dp[i][j]表示合并i到j颗珠子的最大能量
    
19.     vector<vector<int>> dp(2*n, vector<int>(2*n, 0));
    
20.    
    
21.     // 区间DP：枚举区间长度
    
22.     for(int len = 2; len <= n; ++len) {
    
23.         // 枚举区间起点
    
24.         for(int i = 0; i + len - 1 < 2*n; ++i) {
    
25.             int j = i + len - 1; // 区间终点
    
26.             // 枚举分割点k
    
27.             for(int k = i; k < j; ++k) {
    
28.                 // 状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + arr[i]*arr[k+1]*arr[j+1])
    
29.                 dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + arr[i]*arr[k+1]*arr[j+1]);
    
30.             }
    
31.         }
    
32.     }
    
33.    
    
34.     // 找出所有长度为n的区间中的最大值
    
35.     int res = 0;
    
36.     for(int i = 0; i < n; ++i) {
    
37.         res = max(res, dp[i][i+n-1]);
    
38.     }
    
39.     cout << res << endl;
    
40.    
    
41.     return 0;
    
42. }

复制代码

五、常见错误与调试技巧

• 忘记处理环形结构，直接当作线性问题处理
• 区间长度枚举范围错误（应为2到n）
• 分割点k的范围设置不正确
• 结果提取时没有考虑所有可能的起点
  
  

六、优化方向

• 记忆化搜索实现
• 空间复杂度优化（使用滚动数组）
• 并行化处理可能性
  
  

来源：牛客AB52能量项链问题：环形区间DP的完美应用