一、问题背景与需求分析题目要求在一个n×m的方格矩阵中,从左上角(0,0)出发到右下角(n-1,m-1),每次可以向右、向上或向下移动,找出路径上数字之和最大的路线。 核心难点: 二、完整代码实现(带详细注释)
- #include <iostream>
- #include <vector>
- #include <algorithm>
- using namespACe std;
- const int INF = 1e9; // 定义无穷大值
- int main() {
- ios::sync_with_stdio(false); // 关闭同步提升IO速度
- cin.tie(nullptr); // 解除cin与cout的绑定
-
- int n, m;
- cin >> n >> m;
-
- // 读取网格数据
- vector<vector<int>> grid(n, vector<int>(m));
- for (int i = 0; i < n; ++i) {
- for (int j = 0; j < m; ++j) {
- cin >> grid[i][j];
- }
- }
-
- // 三维DP数组:dp[i][j][0]表示从上方到达(i,j)的最大和
- // dp[i][j][1]表示从下方到达(i,j)的最大和
- vector<vector<vector<long long>>> dp(n, vector<vector<long long>>(m, vector<long long>(2, -INF)));
-
- // 初始化起点
- dp[0][0][0] = dp[0][0][1] = grid[0][0];
-
- // 处理第一列(只能从上到下)
- for (int i = 1; i < n; ++i) {
- dp[i][0][0] = dp[i][0][1] = dp[i-1][0][0] + grid[i][0];
- }
-
- // 动态规划处理(按列处理)
- for (int j = 1; j < m; ++j) {
- // 从上到下处理当前列
- for (int i = 0; i < n; ++i) {
- if (i == 0) { // 第一行只能从左边来
- dp[i][j][0] = max(dp[i][j-1][0], dp[i][j-1][1]) + grid[i][j];
- } else { // 可以从左边或上方来
- dp[i][j][0] = max({dp[i][j-1][0], dp[i][j-1][1], dp[i-1][j][0]}) + grid[i][j];
- }
- }
-
- // 从下到上处理当前列
- for (int i = n-1; i >= 0; --i) {
- if (i == n-1) { // 最后一行只能从左边来
- dp[i][j][1] = max(dp[i][j-1][0], dp[i][j-1][1]) + grid[i][j];
- } else { // 可以从左边或下方来
- dp[i][j][1] = max({dp[i][j-1][0], dp[i][j-1][1], dp[i+1][j][1]}) + grid[i][j];
- }
- }
- }
-
- // 输出结果(取两种方向中的最大值)
- cout << max(dp[n-1][m-1][0], dp[n-1][m-1][1]) << endl;
-
- return 0;
- }
复制代码
三、算法核心思想解析三维DP设计:
第三维[0]/[1]分别表示从上/从下到达该点 避免路径方向冲突
每列先从上到下计算(考虑来自左和上的路径) 再从下到上计算(考虑来自左和下的路径)
链接:动态规划
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