牛客AB52能量项链问题：环形区间DP的完美应用
https://dajuwangluo.cn/zb_users/upload/2025/06/202506211750437191846838.jpg一、问题背景与理解能量项链问题描述了一个环形排列的珠子序列，每个珠子有头尾标记。通过特定的聚合操作，相邻珠子可以合并并释放能量。我们的目标是找到使总能量最大的聚合顺序。这个问题本质上是一个环形区间动态规划问题，与矩阵连乘问题类似但更具挑战性。二、算法核心思想[*]环形问题线性化：将原数组复制一份接在后面，转化为线性问题处理
[*]区间DP定义：dp表示合并第i到第j颗珠子能获得的最大能量
[*]状态转移方程：dp = max(dp + dp + arr*arr*arr)，其中k为分割点
[*]边界条件：当区间长度为1时(dp)，能量为0
三、实现详解
[*]输入处理：读取珠子数量n和头标记数组
[*]环形转线性：将原数组复制一份接在后面，形成2n长度的数组
[*]DP数组初始化：创建2n×2n的二维数组，初始值设为0
[*]区间DP计算：
[*]外层循环枚举区间长度(从2到n)
[*]中层循环枚举区间起点
[*]内层循环枚举分割点k，计算所有可能分割方式的最大值
[*]结果提取：在转换后的线性数组中，找出所有长度为n的区间中的最大值
四、代码实现
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespACe std;
int main() {
int n;
cin >> n;
vector<int> nums(n);
for(int i = 0; i < n; ++i) {
cin >> nums;
}
// 环形问题转化为线性问题：将数组复制一份接在后面
vector<int> arr(nums.begin(), nums.end());
arr.insert(arr.end(), nums.begin(), nums.end());
// dp表示合并i到j颗珠子的最大能量
vector<vector<int>> dp(2*n, vector<int>(2*n, 0));
// 区间DP：枚举区间长度
for(int len = 2; len <= n; ++len) {
// 枚举区间起点
for(int i = 0; i + len - 1 < 2*n; ++i) {
int j = i + len - 1; // 区间终点
// 枚举分割点k
for(int k = i; k < j; ++k) {
// 状态转移方程：dp = max(dp, dp + dp + arr*arr*arr)
dp = max(dp, dp + dp + arr*arr*arr);
}
}
}
// 找出所有长度为n的区间中的最大值
int res = 0;
for(int i = 0; i < n; ++i) {
res = max(res, dp);
}
cout << res << endl;
return 0;
}
五、常见错误与调试技巧
[*]忘记处理环形结构，直接当作线性问题处理
[*]区间长度枚举范围错误（应为2到n）
[*]分割点k的范围设置不正确
[*]结果提取时没有考虑所有可能的起点
六、优化方向
[*]记忆化搜索实现
[*]空间复杂度优化（使用滚动数组）
[*]并行化处理可能性
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