2020年CSP-J 方格取数问题详解：双向动态规划解法与路径优...

15303105423 · 发表于 2025-6-22 10:32:10

一、问题背景与需求分析

题目要求在一个n×m的方格矩阵中，从左上角(0,0)出发到右下角(n-1,m-1)，每次可以向右、向上或向下移动，找出路径上数字之和最大的路线。

核心难点：

路径方向多样性（右、上、下）
避免路径交叉和循环
需要考虑来自不同方向的最优解

二、完整代码实现（带详细注释）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int INF = 1e9; // 定义无穷大值
int main() {
ios::sync_with_stdio(false); // 关闭同步提升IO速度
cin.tie(nullptr); // 解除cin与cout的绑定
int n, m;
cin >> n >> m;
// 读取网格数据
vector<vector<int>> grid(n, vector<int>(m));
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (int j = 0; j < m; ++j) {
cin >> grid[i][j];
}
}
// 三维DP数组：dp[i][j][0]表示从上方到达(i,j)的最大和
// dp[i][j][1]表示从下方到达(i,j)的最大和
vector<vector<vector<long long>>> dp(n, vector<vector<long long>>(m, vector<long long>(2, -INF)));
// 初始化起点
dp[0][0][0] = dp[0][0][1] = grid[0][0];
// 处理第一列（只能从上到下）
for (int i = 1; i < n; ++i) {
dp[i][0][0] = dp[i][0][1] = dp[i-1][0][0] + grid[i][0];
}
// 动态规划处理（按列处理）
for (int j = 1; j < m; ++j) {
// 从上到下处理当前列
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (i == 0) { // 第一行只能从左边来
dp[i][j][0] = max(dp[i][j-1][0], dp[i][j-1][1]) + grid[i][j];
} else { // 可以从左边或上方来
dp[i][j][0] = max({dp[i][j-1][0], dp[i][j-1][1], dp[i-1][j][0]}) + grid[i][j];
}
}
// 从下到上处理当前列
for (int i = n-1; i >= 0; --i) {
if (i == n-1) { // 最后一行只能从左边来
dp[i][j][1] = max(dp[i][j-1][0], dp[i][j-1][1]) + grid[i][j];
} else { // 可以从左边或下方来
dp[i][j][1] = max({dp[i][j-1][0], dp[i][j-1][1], dp[i+1][j][1]}) + grid[i][j];
}
}
}
// 输出结果（取两种方向中的最大值）
cout << max(dp[n-1][m-1][0], dp[n-1][m-1][1]) << endl;
return 0;
}

复制代码

三、算法核心思想解析

三维DP设计：
- 第三维[0]/[1]分别表示从上/从下到达该点
- 避免路径方向冲突
双向处理策略：
- 每列先从上到下计算（考虑来自左和上的路径）
- 再从下到上计算（考虑来自左和下的路径）
边界处理：
- 第一列只能垂直移动
- 第一行和最后一行有特殊处理

四、复杂度分析与优化

时间复杂度：O(n×m) 每个格子处理两次
空间优化：可降维到O(n)只存储前一列数据
实际应用：可扩展到三维路径规划问题

五、常见错误与调试技巧

初始化问题：忘记初始化起点
方向混淆：上下方向处理错误
边界条件：行列边界处理不当
调试建议：打印每步DP值验证

来源：2020年CSP-J 方格取数问题详解：双向动态规划解法与路径优化策略