洛谷P1255题解题思路和步骤 C++实现带注释,c++入门基础题

19339201706 · 发表于 7 天前

一、问题描述与递推关系建立

洛谷P1255数楼梯问题要求计算n级台阶的不同走法数，每次可以跨1级或2级。这本质上是斐波那契数列的变种问题，递推公式为f(n)=f(n-1)+f(n-2)。当n≤50时可用普通整型存储，但题目中n可能达到5000，这就必须使用高精度运算来处理大数。为什么说这个问题需要特殊处理呢？因为普通数据类型的存储范围根本无法容纳如此大的数值。我们需要建立清晰的递推思维：第n级台阶的走法数等于从n-1级跨1步上来，加上从n-2级跨2步上来的走法数之和。

二、高精度加法实现原理

在C++中实现高精度加法需要将大数用数组存储，每个元素表示数字的一位。1234可存储为[4,3,2,1]以便于进位处理。具体实现时要注意三个关键点：数组逆序存储简化运算、按位相加处理进位、结果数组的长度动态调整。如何确保加法运算的正确性？我们需要逐位相加并处理进位标志，反向输出结果。这个过程中，carry变量的处理尤为关键，它记录着当前位的进位值，需要加到下一位的计算中。特别要注意最高位可能产生的额外进位情况。

三、动态规划的空间优化

传统动态规划会使用O(n)空间存储所有中间结果，但对于斐波那契类问题，我们只需要前两个状态即可。这引出了滚动数组的优化技巧：仅用三个变量交替存储f(n-2)、f(n-1)和f(n)。为什么这种优化有效？因为递推公式只依赖前两项，与更早的结果无关。在代码实现中，我们可以用二维数组的第二维作为滚动索引，或者直接使用三个高精度数组交替存储。这种优化将空间复杂度从O(n)降到了O(1)，在处理大规模数据时优势明显。

四、完整C++代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
// 高精度加法（逆序存储的数字）
vector<int> add(vector<int>& a, vector<int>& b) {
vector<int> c;
int carry = 0;
for(int i = 0; i < a.size() || i < b.size() || carry; i++) {
if(i < a.size()) carry += a[i];
if(i < b.size()) carry += b[i];
c.push_back(carry % 10);
carry /= 10;
}
return c;
}
int main() {
int n;
cin >> n;
// 边界条件处理
if(n == 0) {
cout << 0;
return 0;
}
// 初始化滚动数组（逆序存储：个位在[0]）
vector<int> f[3] = {{1}, {1}, {}};
// 动态规划递推
for(int i = 2; i <= n; i++) {
f[i%3] = add(f[(i-1)%3], f[(i-2)%3]);
}
// 逆序输出结果
for(int i = f[n%3].size()-1; i >= 0; i--) {
cout << f[n%3][i];
}
return 0;
}

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