分治与递归的完美结合：NOIP1998幂次方问题深度解析与代码...
https://dajuwangluo.cn/zb_users/upload/2025/06/202506231750656246202439.jpg一、问题描述与算法思路幂次方问题要求将任意正整数表示为2的幂次方分解形式，例如137表示为2(7)+2(3)+2(0)，再进一步分解为2(2(2)+2+2(0))+2(2+2(0))+2(0)。这个问题完美展示了分治算法的实际应用场景。二、完整代码解析#include <iostream>#include <string>
#include <vector>
using namespACe std;
// 递归分解函数
string dfs(int n) {
// 处理基本情况
if (n == 0) return "0";// 2^0的特殊表示
if (n == 1) return "2(0)";// 2^1的递归终止情况
if (n == 2) return "2";// 2^1的简化表示
vector<int> powers;// 存储分解出的幂次
int temp = n;// 临时变量保存n值
// 将n分解为2的幂次和
for (int i = 20; i >= 0; i--) {// 从高到低检查每个可能的幂次
if (temp >= (1 << i)) {// 使用位运算检查当前幂次是否存在
powers.push_back(i);// 记录存在的幂次
temp -= (1 << i);// 减去已分解部分
}
}
// 构建结果字符串
string res;
for (int i = 0; i < powers.size(); i++) {
int p = powers;// 当前处理的幂次
if (p == 1) {
res += "2";// 2^1直接表示为2
} else {
res += "2(" + dfs(p) + ")";// 递归处理指数部分
}
// 添加加号分隔符（最后一个不加）
if (i != powers.size() - 1) {
res += "+";
}
}
return res;
}
int main() {
int n;
cin >> n;
cout << dfs(n) << endl;// 调用分解函数并输出结果
return 0;
}
三、关键算法要点解析
[*]分治策略应用：将大数分解为多个2的幂次组合
[*]递归实现技巧：函数自我调用处理子问题
[*]位运算优化：使用移位运算(1<<i)替代pow(2,i)提高效率
[*]字符串拼接：动态构建符合格式要求的输出字符串
四、算法优化建议
[*]预处理2的幂次表减少重复计算
[*]使用备忘录技术优化递归性能
[*]考虑迭代实现避免递归栈溢出风险
五、常见错误与调试技巧
[*]递归终止条件不完整导致无限递归
[*]幂次分解顺序错误导致结果不正确
[*]字符串拼接时格式错误（括号不匹配）
[*]位运算边界条件处理不当
来源：信奥学习
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